Nilai dari log(tan 2°)+log(tan 3°)+….+log(tan 88°)=​

Nilai dari log(tan 2°)+log(tan 3°)+….+log(tan 88°)=​

Hasil dari log (tan 2°) + log (tan 3°) + …. + log (tan 88°) adalah 0. Hasil tersebut kita peroleh menggunakan sifat logaritma dan trigonometri pada tangen.

 

Penjelasan dengan langkah-langkah

Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan soal tersebut adalah:

Sifat logaritma

  • ᵃlog b + ᵃlog c + ᵃlog d = ᵃlog (b × c × d)
  • log b = ¹⁰log b
  • ᵃlog 1 = 0
  • log 1 = 0

Sifat trigonometri pada tangen dan cotangen.

  • cot α = tan (90˚ – α)
  • tan α = cot (90˚ – α)
  • cot α =  ⇒ cot α • tan α = 1

 

Diketahui

log (tan 2°) + log (tan 3°) + …. + log (tan 88°)

Ditanyakan

Tentukan nilai dari penjumlahan logaritma tersebut!

Jawab

Langkah 1

Berdasarkan sifat tan α dan cot α yaitu:

  • tan α = cot (90˚ – α)

maka

  • tan 88° = cot (90˚ – 88˚) = cot 2˚
  • tan 87° = cot (90˚ – 87˚) = cot 3˚
  • tan 86° = cot (90˚ – 86˚) = cot 4˚
  • ….
  • tan 46° = cot (90˚ – 46˚) = cot 44˚

Langkah 2

Berdasarkan langkah 1 dan sifat tan α dengan cot α yaitu:

  • cot α • tan α = 1

maka

  • tan 88˚ • tan 2˚ = cot 2˚ • tan 2˚ = 1
  • tan 87˚ • tan 3˚ = cot 3˚ • tan 3˚ = 1
  • tan 86˚ • tan 4˚ = cot 4˚ • tan 4˚ = 1
  • tan 46˚ • tan 44˚ = cot 44˚ • tan 44˚ = 1

Langkah 3

Berdasarkan langkah 2, maka diperoleh:

tan 2˚ • tan 3˚ • tan 4˚ • … • tan 44˚ • tan 45˚ • tan 46˚ • …. • tan 86˚ • tan 87˚ • tan 88˚

= (tan 2˚ • tan 88˚) • (tan 3˚ • tan 87˚) • (tan 4˚ • tan 86˚) • ….. • (tan 44˚ • tan 46˚) • tan 45˚

= (tan 2˚ • cot 2˚) • (tan 3˚ • cot 3˚) • (tan 4˚ • cot 4˚) • ….. • (tan 44˚ • cot 44˚) • tan 45˚

= (1) • (1) • (1) • … • (1) • 1

= 1

Langkah 4

Berdasarkan langkah 3 dan sifat penjumlahan logaritma, maka diperoleh hasil berikut:

= log (tan 2°) + log (tan 3°) + …. + log (tan 88°)

= log (tan 2˚ • tan 3˚ • … • tan 88˚)

= log 1

= 0